GRADO SEXTO (6)

GRADO SEXTO 6

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b

3 + (−5)

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5 

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b

2 · (−5)

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10  

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16 

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2) : 6

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

ESTO DEBE APRENDERSE PARA TODA LA VIDA

a⁰ = 1 ·

a¹ = a

a^m · a ⁿ = a^m+n

(−2)⁵ ·(−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = −8

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

(−2)³ · (3)³ = (−6) ³ = −216

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

(−6)³ : 3 ³ = (−2)³ = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.

Operaciones combinadas con números enteros

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.

Operaciones con números enteros

Operaciones con números enteros, suma, resta, multiplicación y división de números enteros. Aplicación de la regla de los signos

Números enteros y valor absoluto

El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el  cero . Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

Ejemplos números enteros del mismo signo

    (+5) + (+4) = +9   es lo mismo que: 5 + 4 = 9

    (- 5) + (- 4) = - 9   es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto).

Ejemplos números enteros de distinto signo

    (+20) + (-10) = 20 -10 = +10   ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)

    (- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5   (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

    (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9   (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)

Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.

-    (+8) . (+3) = + 24

-    (-3) . (-2) = + 6

-    (+4) . ( -1) = - 4

-     (-2) . (+4) = - 8

Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

-     (-15) : (-15) = +1

-     8 : 4 = +2

-     - 4 : (-2) = +2

-     10 : 2 = +5

-     10 : (-2) = - 5

-     (-8) : 4 = - 2

-     24 : (-4) = - 6

-     - 6 : 3 = - 2

 TALLER PARA VACASIONES

1. Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

2. Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

3. Sacar factor común en las expresiones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =
2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) =
3 8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =
4 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4. Realizar las siguientes operaciones con números enteros: 

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =
2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
3 9 : [6 : (− 2)] =
4 [(−2)⁵ − (−3)³]² =

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =
6 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5. Realizar las siguientes operaciones con números enteros: 

1(7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=
3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6. Calcula, si existe:

1(−9)² =

2(−1)⁷ =

3(−3)² · (−3) =

4

5(−3)³ =

6

7. Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:

1 (−2)² · (−2)³ · (−2)⁴ =
2 (−8) · (−2)² · (−2)⁰ (−2) =
3(−2)⁻² · (−2)³ · (−2)⁴ =
4 2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ =
5 2² : 2³ =
6 2^-2 : 2³ =
7 2² : 2^-3 =
8 2^-2 : 2^-3 =
9 [(−2)^{− 2}] ³ · (−2)³ · (−2)⁴ =
10[(−2)⁶ : (−2)³ ]³ · (−2) · (−2)⁻⁴ =

8. Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:

1 (−3)¹ · (−3)³ · (−3)⁴ =
2(−27) · (−3) · (−3)² · (−3)⁰=
3 (−3)² · (−3)³ · (−3)⁻⁴ =
4 3⁻² · 3⁻⁴ · 3⁴ =
55² : 5³ =
6 5^-2 : 5³ =
7 5² : 5^-3 =
8 5^-2 : 5^-3 =
9 (−3)¹ · [(−3)³]² · (−3)⁻⁴ =
10 [(−3)⁶ : (−3)³]³ · (−3)⁰ · (−3)⁻⁴ =

WEBGRAFIA
http://www.vadenumeros.es/tercero/operaciones-con-enteros.htm
http://www.ditutor.com/numeros_enteros/operaciones_enteros.html

NOTA: Este ejercicio puede enviarlo a:   demonmagra@gmail.com

Hasta el 6 de Julio del 2013.